图林根的烤肠THÜRINGER BRATWURST
技术笔记 · 2013.12.15

Hermite Curve 以及 Bézier Curve 贝塞尔曲线的简要计算

BÉZIER CURVEHERMITE CURVE贝塞尔曲线

Hermite Curve 以及 Bézier Curve 贝塞尔曲线的简要计算

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作者：图林根の烤肠

详细资料可以查询 wiki 的百科网站，以下内容为个人总结，难免出现错误，欢迎指正最后。

要了解Hermite以及Bézier，首先来简要了解这个三次参数曲线（Parametric cubic curves）：

首先是一个空间三位曲线方程式如下：

Q(u)=U⋅B⋅GQ(u)=(u3b11+u2b21+ub31+b41)⋅G1+(u3b12+u2b22+ub32+b42)⋅G2+(u3b13+u2b23+ub33+b43)⋅G3+(u3b14+u2b24+ub34+b44)⋅G4 Q(u) = U \cdot B \cdot G \\ Q(u) = (u^3b_{11}+u^2b_{21}+ub_{31}+b_{41})\cdot G_1 + (u^3b_{12}+u^2b_{22}+ub_{32}+b_{42})\cdot G_2+\\ (u^3b_{13}+u^2b_{23}+ub_{33}+b_{43})\cdot G_3 + (u^3b_{14}+u^2b_{24}+ub_{34}+b_{44})\cdot G_4

这里面的 U 是scalar，B 是 basic function，而 G 就是 vector向量了，请注意这个线性方程可以转换为下图矩阵相乘的形式：

Q(u)=U⋅B⋅G=[u3u2u1]⋅[b11b12b13b14b21b22b23b24b31b32b33b34b41b42b43b44]⋅[G1G2G3G4] Q(u) = U \cdot B \cdot G = \begin{bmatrix} u^3 & u^2 & u &1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} & b_{14} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} & b_{24} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} & b_{34} \\ b_{41} & b_{42} & b_{43} & b_{44} \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} G_1 \\ G_2 \\ G_3 \\ G_4 \\ \end{bmatrix}

在了解了上面这个矩阵就可以开始正文了：

首先是 Hermite 曲线，它是由一些参数决定：

  1. 2个首位端点 P1，P4 及其各自的斜率参数 R1 与 R4
  2. Hermite 几何矢量（geometry vector）$G_{H}$
  3. Hermite 矩阵为:
[2−211−33−2−100101010] \begin{bmatrix} 2 & -2 & 1 & 1 \\ -3 & 3 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix}

Hermite 曲线最后的表述方式如前面介绍的三次参数曲线为： $Q(u) = U \cdot M_{h} \cdot G_{H}$。这里不仅有人要问，这 Hermite 矩阵为什么是这个样子，其中的推导过程在这偷个懒，直接拽张图片过来

上图中的 Q(0) 与 Q(1) 分别为 u=0 与 u=1 用特殊法。带入上面的三次曲线方程的结果，然后对其方程式求导，带入u=0与u=1，分别求出 Q(0) 与 Q(1) 的斜率。因为 Q(u) = [P1:P4:R1:P4](这是一个4行一列的矩阵)，然后会得出一个等式:

[P1P4R1R4]=[0001111100103210]∙MH∙GH \begin{bmatrix} P_1 \\ P_4 \\ R_1 \\ R_4 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix} ∙ M_{H} ∙ G_{H}
又因为 $G_{H}$ 也等于[P1;P4;R1;P4],
[P1P4R1R4]=GH \begin{bmatrix} P_1 \\ P_4 \\ R_1 \\ R_4 \\ \end{bmatrix} = G_{H}
所以方程两边可以消去[P1;P4;R1;P4]得到等式。
[0001111100103210]∙MH=1 \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix} ∙ M_{H} = 1

再求逆矩阵便可得到 Hermite 矩阵:

MH=[0001111100103210]−1=[2−211−33−2−100103210] M_{H} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix} ^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -2 & 1 & 1 \\ -3 & 3 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix}

按照同样的方法，我们可以接下来获得贝塞尔曲线 Bézier Curve。下面这张图清晰直观的了解到 Bézier Curve 是一个三位空间曲线通过转换投影到2D平面的曲线。

图片来源：Watt,A: 3D-Computergrafik

同上面介绍的 Hermite曲线计算一样，Bézier curve 同理表述为

Q(u)=∑i=03Bi(u)⋅Pi==(−u3+3u2−3u+1)⋅P0+(3u3−6u2+3u)⋅P1++(−3u3+3u2)⋅P2+u3⋅P3 Q(u) = \sum_{i=0}^3 B_{i}(u) \cdot P_{i} = \\ \\ = (-u^3+3u²-3u+1)\cdot P_{0} + (3u^3-6u²+3u)\cdot P_{1} + \\ + (-3u^3 + 3u^2) \cdot P_{2} + u^3 \cdot P_{3}

或者以矩阵的形式表示：

Q(u)=[u3,u2,u,1]⋅[−13−313−630−33001000]⋅[P0P1P2P3] Q(u) = [u^3, u^2, u, 1] \cdot \begin{bmatrix} -1 & 3 & -3 & 1 \\ 3 & -6 & 3 & 0 \\ -3 & 3 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} P_{0} \\ P_{1} \\ P_{2} \\ P_{3} \\ \end{bmatrix}

其中 $P_{i}$ 为行向量 (row-vector)，里面的推导过程就不介绍了，详情可以查询 维基百科 的网页介绍。 另外推荐一篇介绍 Hermite 曲线的 OpenGL 博客，非常值得一看。

参考资料：

3D-Repräsentation，Vorlesung Computeranimation WS 2009 © Nowak, Weigel, Kirchner, Schuller